5 / 11
Основные квазиматричные логики
Гуманитарный вестник
# 10·2016 5
торых —
f
i
; в некоторых —
t
c
, а в некоторых —
f
i
;
в
некоторых —
t
n
,
в некоторых —
t
c
, а в некоторых —
f
i
и т. д. Тогда
B
1
, …,
B
n
⇒
F
′
.
Лемма доказывается возвратной индукцией по числу вхождений
логических терминов в формулу
F.
Базис.
Формула
F
не содержит логических терминов. Очевидное
доказательство опускается.
Индукционное допущение
. Утверждение верно для формул, име-
ющих не более
s
вхождений логических терминов.
Индукционный шаг. Случай 1.
Пусть
s+1
-м вхождением логиче-
ских терминов в формулу
F
является вхождение знака отрицания.
Формула
F
есть
¬
L
.
Пусть
F
имеет значение
t
n
в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации переменных. То-
гда
L
имеет значение
f
i
в каждой альтернативной интерпретации, об-
разованной на основе данной интерпретации переменных. В силу
индукционного допущения
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬◊
L
;
¬◊
L
⊃
□
¬
L
—
теоре-
ма. (Используем схему аксиом
¬
□
¬
A
⊃ ◊
A
.) Тогда
B
1
, …,
B
n
⇒
□
¬
L
.
Пусть
F
имеет значение
f
i
в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации. Тогда
L
имеет
значение
t
n
в каждой альтернативной интерпретации. В силу индук-
ционного допущения
B
1
, …,
B
n
⇒
□L
. Тогда
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬◊¬
L
. Ис-
пользуем схему аксиом
◊
A
⊃¬
□
¬
A
и
правило замены
¬¬
A
на
A
, и
наоборот.
Пусть
F
имеет значение
t
c
в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации. Тогда
L
имеет
значение
f
c
в каждой альтернативной интерпретации. В силу индук-
ционного допущения
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬
L
&◊
L
.
Отсюда
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬
L
&◊¬¬
L
.
Пусть
F
имеет значение
f
c
в каждой альтернативной интерпрета-
ции, образованной на основе данной интерпретации. Тогда
L
имеет
значение
t
c
в каждой альтернативной интерпретации. В силу индук-
ционного допущения
B
1
, …,
B
n
⇒
L
&
◊¬
L
.
Отсюда
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬¬
L
&
◊¬
L
.
Пусть
F
имеет значение
t
n
в некоторых альтернативных интер-
претациях, образованных на основе данной интерпретации,
а в неко-
торых — значение
t
c
. Тогда
L
в некоторых альтернативных интер-
претациях имеет значение
f
i
, а в некоторых —
f
c
. В силу индукцион-
ного допущения
B
1
, …,
B
n
⇒ ¬◊
L
∨¬
L
&
◊
L
.
Поскольку
¬◊
L
⇒
□
¬
L
и
¬
L
&◊
L
⇒ ¬
L
&◊¬¬
L
,
имеем
B
1
, …,
B
n
⇒
□
¬
L
∨
(
¬
L
&◊¬¬
L
).
Пусть
F
имеет значение
t
n
в некоторых альтернативных интер-
претациях, образованных на основе данной интерпретации, а в неко-