Гуманитарный вестник
# 10·2016 1
УДК 164.3+164.08 DOI 10.18698/2306-8477-2016-10-391
Основные квазиматричные логики
© Ю.В. Ивлев
МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 119991, Россия
Известны возможности применения матричных логик вне области логики. Это
релейно-контактные схемы и абстрактные автоматы. В случае применения мат-
ричных логик к описанию автоматов зависимости между сигналами на входе ав-
томата, его состоянием и действием на выходе выражаются посредством функ-
ций. Использование квазиматричной логики позволит выражать эту зависимость
посредством квазифункций. Поскольку частным случаем квазифункции является
функция, появляется возможность создания новых видов автоматических
устройств, решающих более широкий спектр задач. Однако для квазиматричных
логик актуальна проблема разрешимости, что не позволяет применять квазимат-
ричную логику в указанной сфере. В статье предложено решение этой проблемы.
Ключевые слова:
матричная логика, квазиматричная логика, квазифункция, се-
мантическая полнота, разрешимость исчисления
Матричная логика.
При семантическом построении этой логики
используется понятие матрицы. Матрица — это множество (
W
,
V
,
f
1
,
f
2
, …), где
W
— непустое множество элементов матрицы,
V
— мно-
жество выделенных элементов (
V
⊂
W
),
f
1
,
f
2
, … — функции, явля-
ющиеся интерпретациями логических терминов. Например, для клас-
сической логики высказываний матрица — это множество (
W
,
V
,
f
1
,
f
2
), где
W
— {
и
,
л
};
V
— {
и
};
f
1
—
одноместная функция, соответ-
ствующая отрицанию;
f
2
— двухместная функция, соответствующая,
например, конъюнкции (отрицание и конъюнкция — полная система
связок). Здесь «и» — значение «истина», а «л» — «ложь».
Квазиматричная логика.
Основным понятием этой логики,
предложенной автором данной статьи в 1970-х гг. ХХ в. [1], является
понятие квазиматрицы [2–5].
Квазиматрица — множество (
W
,
V
,
qf
1
,
qf
2
,
qf
3
, …), в котором
qf
1
,
qf
2
,
qf
3
, … — квазифункции. Квазифункция — это соответствие,
в силу которого какой-то элемент подмножества множества, являю-
щегося областью определения функции, соотносится с каким-то эле-
ментом подмножества множества, представляющего собой областью
значений функции.
Примеры.
1.
Функция.
Пусть областью ее определения является
множество {
a
,
b
,
c
}, а областью значений — множество {
d
,
s
,
h
}.
Функция может быть задана разными парами элементов этих мно-
жеств, например {(
a
,
d
), (
b
,
s
), (
c
,
h
)}.