2 / 11
Ю.В. Ивлев
2
Гуманитарный вестник
# 10·2016
2.
Квазифункция
. Пусть область определения и область значений
квазифункции одни и те же. Квазифункция может быть представлена
множеством {(либо (
a
,
d
), либо (
a
,
s
), либо (
b
,
d
), либо (
b
,
s
)), (
c
,
h
)}.
Квазиматричная логика
S
min
. К языку классической логики вы-
сказываний, содержащему логические термины
¬
(отрицание) и
⊃
((материальная) импликация), скобки и пропозициональные пере-
менные
p
,
q
,
r
,
s
,
p
1
,
q
1
, …, добавляются модальные термины □
(необходимость) и
◊
(возможность). Определение формулы обычное.
Квазиматрица логики
S
min
:
({
и
,
л
}, {
и
},
f
1
,
f
2
,
qf
1
,
qf
2
),
где
f
1
— одноместная функция (частный случай квазифункции), по-
средством которой определяется отрицание;
f
2
— двухместная функ-
ция (так же частный случай квазифункции), посредством которой
определяется материальная импликация;
qf
1
,
qf
2
— квазифункции,
посредством которых определяются знаки необходимости и возможно-
сти. Знаки отрицания и импликации определяются обычным образом.
Определения знаков необходимости и возможности:
|
A
| =
л
⇔
|□
A
| =
л
; |
A
| =
и
⇒
|□
A
|
∈
{
и
,
л
};
|
A
| =
и
⇒
|
◊
A
| =
и
; |
A
| =
л
⇒
|
◊
A
|
∈
{
и
,
л
}.
Аналогичные определения модальных терминов даны Решером
[6], но он не построил квазиматричную логику, поскольку в его логи-
ке (
Q
) выделенными значениями являются «истина» (
t
) и «то ли ис-
тина, то ли ложь» (
t
,
f
).
Выражение |
G
| читается: «значение формулы
G
»; | | — сокраще-
ние для последовательности квазифункций (
ϕ
,
qf
1
,
qf
2
,
qf
3
, …);
ϕ
—
функция (частный случай квазифункции) приписывания значений
пропозициональным переменным (функция интерпретации перемен-
ных). Каждая из (квази)функций последовательности (
qf
1
,
qf
2
,
qf
3
, …)
применяется к соответствующему логическому термину. Если в фор-
муле не встречается логический термин, который интерпретируется
(квази)функцией из этой последовательности, то она не применяется.
Исчисление
S
min
.
К исчислению классической логики высказы-
ваний добавляются две схемы аксиом: □A
⊃
A, A
⊃◊
A. Определения
доказательства, теоремы и вывода не изменяются [7].
Основные четырехзначные квазиматричные логики
.
Из по-
строенных автором данной статьи четырехзначных модальных логик
[8, с. 74–128] выделим в качестве основных квазиматричных логиче-
ские системы
S
а
+
,
S
з
+
,
S
и
+
,
S
к
+
,
S
л
+
. В них все логические термины,
кроме отрицания, интерпретируются посредством квазифункций. От-
рицание интерпретируется с помощью функции, являющейся част-
ным случаем квазифункции. Во всех этих логиках
W
есть множество