8 / 12
Ф.Х. Ахметова, А.В. Косова, И.Н. Пелевина
8
Гуманитарный вестник
# 5·2016
Задача 7.
Вычислить
364
8
lim
4
x
x
x
→
−
−
.
Снова имеем неопределенность вида
0
0
. Для выделения «кри-
тического» множителя в этом случае удобно использовать замену пе-
ременной, выбрав ее так, чтобы избавиться от иррациональностей в
числителе и знаменателе:
6
x t
=
. При
6
64,
64 2
x
t
→ → =
(
)
(
)
(
)(
)
2
3
2
2
364
2
2
2
2 2 4
8
8
2 4 12
lim
lim lim
lim
3
2 2
2 4
4
4
x
t
t
t
t
t
t
x
t
t
t
t
t
t
t
x
→
→
→
→
− + +
−
−
+ +
=
=
=
= =
− +
+
−
−
.
Задача 8.
Вычислить предел
(
)
2
2
lim 4 5 1 4 5 1
x
x x
x x
→∞
+ + − − +
.
В приведенном примере существует неопределенность вида
[
]
∞ − ∞
. Чтобы раскрыть ее, необходимо свести выражение, стоящее
под знаком предела, к дроби. Сделаем это, домножив на сопряжен-
ное. В результате тип неопределенности сменится на
∞
∞
. Раскроем
эту неопределенность, вынося самые «весомые» слагаемые числителя
и знаменателя за скобки:
(
)
2
2
lim 4 5 1 4 5 1
x
x x
x x
→∞
+ + − − + =
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1
lim
4 5 1 4 5 1
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
→∞
+ + − − +
+ + + − +
=
=
+ + + − +
2
2
2
2
2
2
4 5 1 4 5 1
10
lim
lim
4 5 1 4 5 1
4 5 1 4 5 1
x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
→∞
→∞
+ + − + −
=
=
=
+ + + − +
+ + + − +
2
2
2
2
,
10
lim
,
0;
5 1
5 1
,
0
4 1
1
4
4
4
4
x
напомним что
x
x если x
x x
x если x
x
x
x
x
x
→∞
=
=
≥ =
= =
−
<
+ + + − +
10
5
lim
,
2 2 2
10 5
lim
.
2 2 2
x
x
x
при x
x
x
при x
x
→−∞
→+∞
= −
→ −∞
− ⋅
=
=
→ +∞
⋅